等加速度直線運動の式の導出&物理的意味

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このページでは等加速度直線運動について解説していきます。

主に式の導出物理的意味

式をしっかり理解すれば応用力はぐっと上がるはずです。

また、運動方程式を用いてさらに詳しく説明します。

等加速度直線運動の式の導出

さっそく式の導出をしていくが、まずは3つの式を見てみよう。
$$① v=v_0+at\\② x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\\③ v^2-v_0^2=2ax$$

 

高校レベルでは①は加速度の定義から~、②は\(v-t\)グラフの面積を利用して~、みたいに習うだろう。
しかしこのページでは、積分を用いて式を導出する。
積分で求めた方が考えやすいし、物理式はたいてい微分積分によって導くからだ。

 

等加速度直線運動:速度\(v\)に関する式の導出

まずは初期条件を決める。
初期条件:時刻\(t=0\)での物体の座標を\(x(0)=x_0\)、速度を\(v(0)=v_0\)
とする。
また物体の加速度\(a\)は時間によらず一定であるとする。\(a=const\)

速度\(v(t)\)は時間\(t\)の関数であるから
$$v(t)=\int adt=at+C_1 (C_1:積分定数)$$
\(t=0\)のとき、\(v(0)=v_0\)であるから、
$$C_1=v_0$$

よって、
$$v(t)=v_0+at$$
となる。

 

ここで\(at\)はもちろん速度の次元\(LT^{-1}\)をもっている。

加速度\(a\)が一定であると仮定するのは重要で、一定でない場合公式通りの式は導出できない。

 

等加速度直線運動:座標\(x\)に関する式の導出

続いて\(x\)に関する式を導出する。

とは言っても、導出は非常に簡単だ。
先ほどの要領で速度\(v\)を時間\(t\)で積分すればよい。

$$x(t)=\int vdt=v_0 t+\frac{1}{2}at^2+C_2$$

\(t=0\)のとき\(x=x_0\)だから
$$C_2=x_0$$

よって、
$$x(t)=x_0+v_0 t+\frac{1}{2}at^2$$
となる。

初期座標\(x_0\)が\(x=0\)にある場合
$$x(t)=v_0 t+\frac{1}{2}at^2$$
となる。

 

つまり公式②は「\(t=0\)のとき、\(x(0)=0\)である」という条件付きの式なのだ。

 

等加速度直線運動:③式の導出

③式は、①式と②式から\(t\)を消去して導いてやればよい。
これはただの代入なので解説はしない。

 

 

等加速度直線運動の物理的意味

次に、それぞれの式を理解する段階に入ろう。

 

公式①:
初速度\(v_0\)が与えられ、その後時間変化により速度がどう変わるかを記述している。

公式②:
まず第1項\(v_0 t\)は、与えられた初速度のまま移動して、物体が\(t\)秒後にいる位置を表している。
第2項は、加速度\(a\)の影響で物体がどれだけ前進、もしくは後退するかを表している。

公式③:
速度\(v\)と座標\(x\)の関係式。
二乗しているからどうだ、とかそういう意味は特にないだろう。

 

 

①と②を見てみるとどちらも、初速度に関する項と、加速度に関する項に分かれている。

つまり、初速度\(v_0\)と加速度\(a\)(=一定)の間に対応関係はないということだ。

だから、「初速度\(v_0\)が与えられたから、加速度\(a\)によって速度\(v\)はこうなる」という考えはよろしくない。

等加速度直線運動において、初速度と加速度は別々に考えるのが妥当だろう。

 

このことを考えるのに「ニュートンの運動方程式」がすごく役に立つ。
というより、むしろ運動方程式で考えるほうが妥当だ。

 

等加速度直線運動と運動方程式

ニュートンの運動方程式
$$m\frac{d^2 r}{dt^2}=\mathbf{F}$$

この式は、力 \(\mathbf{F}\) を受けている質点が従うことを記述した式だ。
\(\mathbf{F}\) はベクトルを表す。
そしてこれを第2法則(運動法則)と呼ぶ。

 

いま質点の運動が直線上に限られており、その直線に沿って常に一定の力\(F\)がはたらいているとする。
直線を\(x\)軸にとると、
$$m\frac{d^2 x}{dt^2}=F  \qquad \qquad (α)$$
であるから、
$$\frac{d^2 x}{dt^2}=\frac{F}{m}$$
となる。

つまり加えられている力が一定なら、加速度は一定となるのだ。

 

では公式①②を導出したのと同じように積分していく。
$$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{F}{m}t+A   (A:任意定数)$$
さらに積分すると、
$$x(t)=\frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2+At+B   (B:任意定数)$$

\(x(t)\)はまだ条件を付けくわえておらず、一般的に成り立つので\((α)\)の一般解という。

 

\(t=0\)で\(x(0)=x_0\)、\(v(0)=v_0\)という初期条件を与えてやれば、
$$x(0)=B=x_0,  \qquad v(0)=A=v_0$$
となるので、
$$v(t)=\frac{dx}{dt}=v_0+\frac{F}{m}t\\
x(t)=v_0 t+\frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2+x_0$$
となる。

つまり、最初に設定した加速度\(a\)とは\(\frac{F}{m}\)だったのだ。

だから、初速度\(v_0\)と加速度\(a\)は対応関係にないと言ったのである。

 

等加速度直線運動の公式の応用

ここまで公式の解釈に専念してきた。

では、これらの式はどういう状況で使えるのか。

主に、落体の運動放物運動だ。
というか、この2つ以外思いつかない。(他にあるのかな?)

 

落体の運動

さて、まず落体の運動について考える。重力加速度\(g\)は、
$$g=k\frac{m_G}{m}$$
なのだ。

先ほどの式では物体にかかる重力を無視した場合を考えていた。
しかし、落体を考える場合そうはいかない。

そこで登場するのが重力加速度\(g\)なわけだ。

\(k\)は比例定数、\(m_G\)は重力質量、\(m\)は慣性質量である。
先ほどまで扱っていた\(m\)は慣性質量のことだったんだ。

 

\(g=\frac{F}{m}\)じゃないのか?と思うかもしれない。(ホントはベクトル)
確かにそうなんだが、それは重力質量\(m_G\)と慣性質量\(m\)の等価性を考えた時に成り立つ。

とは言っても、\(\mathbf{F}=m\mathbf{g}\)と考えて問題ないだろう。

 

放物運動

放物運動? 直線じゃないだろ!と思うかもしれない。
ごもっともだ。

だから、改めて等加速度運動としよう。

重力加速度\(g\)が一定だから問題ない。

 

あとは、\(g\)と放射方向\(θ\)を考慮してやればよい。

 

最後に

いかがでしたか。
等加速度直線運動の公式について理解は深まったでしょうか?

大学レベルでは積分を多用するので、少し難しく感じるかもしれません。
しかし、積分を使った方が現象を記述しやすい、理解しやすいです。

物理の式をちゃんと理解したいなら微分・積分で考えるようにしましょう。

 

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