連続の式の導出(オイラーの方法)

1. 連続の式とは

連続の式とは、とある閉曲面Sによって囲まれた体積Vの領域を流出・流入する流体の質量が保存されることを表した式です。

2. 連続の式 の導出

流体を扱う際には、2つの手法があります。
オイラーの方法と、ラグランジュの方法です。

 

オイラー法とラグランジュ法の特徴は、以下のように捉えることができます。

ラグランジュ: 流体を分割した中のある微小要素に着目し、その微小要素の運動を追跡する。
オイラー: 空間のある場所で、流体の微小要素の運動を観測する。

ここではオイラーの方法に従って、連続の式を導出していきます。

 

まず、流体を分割した中で、空間に固定した閉曲面Sで囲まれた体積Vの領域を考えます。

そして、

(体積V内の質量の変化) = (閉曲面Sを流出・流入する流体の質量)

となることを確認していきます。

 

この上の関係式を数式化すると、以下のように記述できます。

\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t} \int_{v} \rho d V &=-\int_{S} \rho \operatorname{\mathbf{v}} \cdot \operatorname{\mathbf{n}} d S \\
&=-\int_{S} \rho \mathbf{v} \cdot d \mathbf{S} \ \ (1)\\
\end{aligned}

左辺は、流体の質量密度を体積Vで積分したもの、すなわち体積V内の全質量を時間微分することで、全質量がどのくらい変化したかを表しています。

右辺第1式は、微小な面要素\(dS\)を単位時間に流出する流体の質量\(\rho \operatorname{\mathbf{v}} \cdot \operatorname{\mathbf{n}}\)を、全面積に渡って積分することで、流れ出る流体の総質量を表しています。

また、\(\operatorname{\mathbf{n}} d S \ =\ \mathbf{S}\)

ここで、\(\operatorname{\mathbf{n}}\)は面に垂直な単位ベクトルで、外側を向いています。

 

したがって、速度ベクトル\(\operatorname{\mathbf{v}}\)が正なら流出を、負なら流入を表します。

そして、流出するということは、体積V内の質量は当然減少するので、負号「-」で補ってあげます。

逆に流入の場合、体積V内の質量は増加します。
つまり、負号「-」と負の速度ベクトル\(\operatorname{\mathbf{v}}\)により、正になります。

 

次に、上記の式、右辺第2式にガウスの発散定理を使い、体積積分の式に書き換えます。

ガウスの発散定理
$$
\int_{v} \nabla \cdot \mathbf{A} \ dV=\int_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}
$$

これを上の式に適用すると、

$$
\int_{S} \rho \mathbf{v} d \mathbf{S}=\int_{v} \nabla \cdot(\rho \mathbf{v}) d V
$$

となるので、(1)式は

$$
\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho d V+\int_{V} \nabla \cdot(\rho \mathbf{v}) d V=0
$$

となります。

この式が任意の体積Vで成り立つためには、

$$
\frac{\partial p}{\partial t}+\nabla \cdot\left(\rho \mathbf{v}\right)=0
$$

これが、連続の式と呼ばれるものです。
または、質量保存の式などとも呼びます。

 

これを、流れに沿って密度\(\rho\)が変化しない非圧縮性流体で考えると、

$$
(\nabla \cdot \mathbf{v})=0
$$

となります。

非圧縮性流体の例: 水

 

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